Norme d'un vecteur

Dans le plan rapporté à un repère orthogonal, on considère deux points \(A\) et \(B\) de coordonnées \(A (x_A;y_A)\) et \(B(x_B;y_B)\).

Définition : la norme du vecteur \(\overrightarrow{AB}\) notée \(\left\|\vec{AB}\right\|\) est la longueur du segment \([AB]\).

Calcul de la norme connaissant les coordonnées des points \(A\) et \(B\)

Formule : connaissant les coordonnées des points \(A\) et \(B\), on calcule la norme du vecteur \(\overrightarrow{AB}\)  en appliquant la relation : \(\left\|\vec{AB}\right\| = \sqrt {(x_B- x_A)^2+ (y_B-y_A)^2}\).``

Exemple

On considère un point \(A(4;1)\) et un point \(B(2;3)\).

Le vecteur \(\overrightarrow{AB}\) a pour norme :

\(\left\|\vec{AB}\right\| = \sqrt {(x_B- x_A)^2+ (y_B-y_A)^2}\) 

\(\left\|\vec{AB}\right\| = \sqrt {(2- 4)^2+ (3-1)^2}\)

\(\left\|\vec{AB}\right\| = \sqrt {(-2)^2+ 2^2}\)

\(\left\|\vec{AB}\right\| = \sqrt {4+4}\)

\(\left\|\vec{AB}\right\| = \sqrt {8}\)

\(\left\|\vec{AB}\right\| ≈ 2,8\) (arrondi à l'unité)

Calcul de la norme connaissant les coordonnées du vecteur \(\overrightarrow{AB}\)

Formule : connaissant les coordonnées du vecteur \(\overrightarrow{AB}(x;y)\), on calcule la norme du vecteur \(\overrightarrow{AB}\) en appliquant la relation : \(\left\|\vec{AB}\right\| = \sqrt {x^2+ y^2}\).``

Exemple
On considère le vecteur \(\overrightarrow{AB}(-2;6)\).

\(\left\|\vec{AB}\right\| = \sqrt {x^2+ y^2}\)

\(\left\|\vec{AB}\right\| = \sqrt {-2^2+ 6^2}\)

\(\left\|\vec{AB}\right\| = \sqrt {4+ 36}\)

\(\left\|\vec{AB}\right\| = \sqrt {40}\)

\(\left\|\vec{AB}\right\| ≈ 6,{}3\) (arrondi à l'unité)